数学和经济学可以相互推导。数理经济学可以帮助经济学家通过逻辑推导得到结论；而通过对经济现象的观察，经济学家反过来又可以推导出数学定理。数学和经济学的结合，可以用来理性的思考经济现象，也提供了一套理性的价值观。
一. 拉式定理与套利
假设给定一个经济学上的最优化问题，即给出目标函数（比如产量最大）和约束函数（比如投入的要素有限），可以首先构造拉格朗日函数，然后求解其一阶条件，可以得出经济学上的等边际原则。
生产者不是数学家，但仍然会按照等边际原则行事，这是因为套利活动会让其自动追求最优的资源配置。
比如一个生产者有一部分收入，购买土地和化肥并用于生产粮食，那么，怎样决定分别购买多少土地和化肥，才能使生产出的粮食最多？即便他不懂数学，仍然可以靠套利的方法获得一样的等边际原则带来的最优结果。
生产者可以做这样的试验：假设少买一点化肥，把省下的钱换成买土地，能不能增产粮食？如果可以增产，那么就继续将买化肥的钱转移成购买土地，直到不能再增产时，就达到了最优；如果不能增产，那么就反过来操作，即少买一点土地，把省下的钱换成化肥。这样不断调整，最后没有了套利机会时，产量就是最大的了。传统上流传下来的各种耕种方法和窍门，都是不断调整和试验的结果。
这就是说，当化肥和土地的边际产量相等时，粮食产量最大。换成数学的语言，就是拉式函数的一阶条件同时为零时，目标函数达到最优。这样说或许仍然难以理解，但是人们都懂得“木桶原理”，如果木桶的边缘参差不齐，就会带来浪费，这和等边际的道理是一样的。
所以，套利往往并不是一件坏事，套利穷尽了资源可以改进利用的空间，从而达到目标函数的极大；套利往往并不是一件坏事，套利可以减少浪费，为了达到一个目标最少的耗费资源。金融市场上的投机者，从事的同样是套利活动，在客观上讲，这些套利活动也帮助了资金找到了最优的使用途径。
二. 拉式定理、影子价格与劳动价值论
在前面的一个例子当中，一个生产者用一定的预算去购买土地和化肥用于生产，生产者的最优选择，就是要让土地和化肥的增产效果相同，或者说让拉式方程的一节条件等于零。在方程组中还能够解出拉式乘子，拉式乘子被经济学家称作影子价格。
拉式乘子是一个比值，即约束条件与目标函数的边际比值。在本文的经济学例子中，拉式乘子就是一单位的预算能够带来多少粮食增产。拉式乘子能帮助人们理解价格。比如，在最优化的假定下，一单位货币最多能增产2斤粮食，却最多只能增产1斤苹果，人们就知道苹果的价值是粮食的两倍，价格也是粮食的两倍。
所以，拉式乘子才被称作影子价格。这也表明价格是一种资源和产品，所能给人们带来的最大收益的比值。每件商品多少钱，决定了这个商品和另外一个商品如何交换。这个交换是处处以资源的最优利用为前提。
这和劳动价值论是不同的，它认为两种商品的价值取决于劳动的时间。可是在数学的世界里，价格是交换的价值之比，而不是耗费的劳动时间之比。两种价值观的不同在于，交换价值的确定，其前提是产量或者效用的极大化；而劳动价值论没有这样的前提，它认为社会平均劳动时间越长，或者生产什么越耗时间，则价值越大，或者说最辛苦的事情价值最大。
可是，“最辛苦”不是人们生产生活的目标，一个生产一件衣服用1个月的社会，要远远落后与生产一件衣服只用1天的社会，更不能说前者生产的衣服的价值是后者的30倍。因此，劳动价值论看上去简洁，符合人们的直观，可是却并不能从中发现任何新的知识。
三. 最大值函数、包络定理与计划经济者
在前面的例子中，假设生产者的预算是一定的。那么，如果生产者的预算变动了，此时他的最优选择是什么，最优的粮食产量会怎么变？
假设生产者的预算增加了，生产者仍然可以继续使用上面介绍的套利方法，直至没有套利空间时获得最大产量。或者生产者也是一个数学家，他还可以通过写出拉格朗日函数的方法来求得该如何购买多少土地和化肥。
预算的增加，意味着拉式函数的约束条件放松了，作为数学家的生产者就可以有余地调整自己的资源配置，多投入一些土地和化肥。但这个调整只要是最优的，那么拉式函数的一阶条件就仍然是等于零的。这也就是说，生产者如果想知道多出来的预算能增加多少收益，他只要将增加的预算乘上影子价格就可以了，而无需再去重新计算具体的调整过程。
比如粮食的影子价格是1，那么多增加了5单位的预算能带来的最大收益一定是5，无论生产者如何调整土地和化肥的配置，都不会获得高于5的收益。
对于每一个固定的预算，都有一个最优的产量，两者之间的关系可以用最大值函数来表示。生产者也可以靠影子价格的方法，知道自己在预算变动时最多能增加，或者最低能减少多少收益，而不必再去推导具体的调整过程。包络定理就是对这种简便方法的一个总结。
如果有一个试图控制经济的计划经济者，他只要弄清楚各种投入的影子价格，就能预先设定增加各种资源投入的最优结果，而不必具体去干涉具体的资源配置过程，从而大大简化自己的工作强度。因此，最偷懒的计划经济者反而可能是最有效的计划经济者。
[ 张林 天则经济研究所项目研究员 ]
2015-8-8
中评网首发
